Úvod do normálního rozdělení v elektrotechnice

Tento článek je pokračováním naší řady statistik elektrotechniky. První dva články tvořily základ naší diskuse o statistické analýze a deskriptivní statistice, poté jsme zkoumali střední odchylku, směrodatnou odchylku a rozptyl ve zpracování signálu a věnovali zvláštní pozornost kompromisu pro velikost signálu. zobrazuje standardní odchylky při výpočtu. V předchozím článku jsme dále porozuměli směrodatné odchylce a zkoumali její vztah k hodnotám odmocniny. V tomto článku představíme místo normálního rozdělení v elektrotechnice, zejména při hodnocení její funkce. hustota pravděpodobnosti.

Co je normální rozdělení?

Pokud opakovaně měříte více či méně náhodně se měnící veličinu (úrovně napětí v šumovém signálu, skutečné hodnoty odporu 47 kΩ rezistorů, výsledky testů v technické třídě, délky travních stébel na trávníku atd.), Čím více a více údajů shromažďujete, tím pomalejší je distribuce hodnot. pomalý pravděpodobně podobný obrázku níže.

Histogram představující normální nebo Gaussovo rozdělení.

To se nazývá normální nebo Gauss rozdělení. Sleduje známý tvar zvonové křivky, ale je důležité používat místo „zvonové křivky“ název „normální“ nebo „Gaussian“, protože jiné typy distribuce mají podobný tvar. Mnoho jevů studovaných ve strojírenství, fyzice a sociálních vědách bude při statistickém analyzování produkovat normální rozdělení.

Vlastnosti normálního rozdělení.

Normální rozdělení je matematicky definovaný vztah, který popisuje hodnoty v datové sadě, a měření v reálném životě tento vztah přibližují, jak se zvětšuje velikost vzorku. Podívejme se na některé důležité vlastnosti normálního rozdělení. Obecný tvar rozdělení se vytvoří vynesením funkce (e ^ {- x ^ 2}). Specifický tvar daného normálního rozdělení je definován přesně střední hodnotou a směrodatnou odchylkou. Jinými slovy, pokud znáte průměr a směrodatnou odchylku normálně distribuovaného souboru dat, můžete vykreslit tvar histogramu. Průměr určuje, kde bude střed křivky, a směrodatná odchylka také určuje jeho zdánlivou šířku. Ve výše uvedeném rozdělení je průměr 0 a směrodatná odchylka 5. Ačkoli se teoreticky Gaussova křivka rozšiřuje na kladné a záporné nekonečno, očekávaný počet výskytů se stává extrémně malým, když jsou hodnoty větší než přibližně 3. standardní odchylky nad nebo pod průměrem.

Histogramy a funkce hustoty pravděpodobnosti

Pokud shromáždíme velké množství dat pro proměnnou, která sleduje normální rozdělení, můžeme tato data prezentovat jako histogram a budou ve formě Gaussovy křivky. Na druhou stranu, pokud známe průměrnou a směrodatnou odchylku dat, můžeme vykreslit funkci hustoty pravděpodobnosti odpovídající našim experimentálním pozorováním. K tomu použijeme následující vzorec:

(P (x) = frac {1} {sqrt {2 pi} sigma} e ^ {frac {- (x- mu) ^ 2} (2 sigma ^ 2})

Zde μ je průměr a σ je standardní odchylka Zde je graf funkce hustoty pravděpodobnosti normálně distribuované proměnné se střední hodnotou 0 a standardní odchylkou 5.

Funkce hustoty kreslení normálně distribuované proměnné. V tomto případě je průměr 0 a směrodatná odchylka 5.

Interpretace funkce hustoty pravděpodobnosti Výpočtem plochy pod křivkou P (x) v daném rozsahu (například –3 až +3) určujeme pravděpodobnost, že náhodně vybrané měření spadá do tohoto rozsahu. Pro praktické účely můžeme také interpretovat P (x) jako pravděpodobnost, že se náhodně vybrané měření přibližně rovná určité hodnotě. Předpokládejme například, že výše uvedená funkce hustoty pravděpodobnosti odpovídá histogramu, který jsme vytvořili měřením. napětí (v milivoltech) signálu snímače. Všechny hodnoty jsou zaokrouhleny na nejbližší milivolty. Průměr byl 0 V a směrodatná odchylka byla 5 mV. Pomocí výše uvedeného vzorce vypočítáme Gaussian P (x) a vykreslíme P (x), abychom vytvořili křivku, která je spojitým matematickým vyjádřením distribuce napětí. měřeno ze snímače. Nyní se podíváme na graf a zjistíme, že hodnota 6 mV odpovídá P (x) = 0,04, což naznačuje, že existuje 4% pravděpodobnost, že náhodně vybrané měření napětí bude asi 6 mV. V takové funkci hustoty pravděpodobnosti Upozorňujeme však, že tento komentář není absolutně matematicky správný.. Funkce hustoty pravděpodobnosti je spojitá a pravděpodobnost tedy není nulová při přesné hodnotě podél vodorovné osy, ale pouze v určitém rozsahu.

Normalizace funkce hustoty pravděpodobnosti Všechny funkce hustoty pravděpodobnosti jsou normalizovány tak, že celková plocha pod křivkou je 1. To dává smysl: oblast pod celou křivkou je v nás, štěstí je v rozsahu odpovídajícím celé křivce. Výsledek integrace P (x) by měl být 1, protože pravděpodobnost, že hodnota bude někde v tomto rozsahu, je 100%. Kvůli této normalizaci se P (x) a histogram neshodují, pokud nakreslíme histogram na stejné osy: P (x) se táhne pouze od 0 do 0,08 na svislé ose, zatímco histogram sahá od 0 do 8000 (protože byl vytvořen pomocí 100 000 datových bodů). Pokud to však vynásobím P (x) na 100 000 a výsledná křivka je zahrnuta do grafu histogramu, můžete vidět, že Gaussova funkce hustoty pravděpodobnosti matematicky zachycuje měřené rozdělení.

Gaussova funkce hustoty pravděpodobnosti, když vynásobíme P (x) 100 000 a výslednou křivku zahrneme do grafu histogramu.

výsledek

Doufám, že se vám tento článek líbil a představili jste normální rozdělení s vyváženým poměrem praktických a teoretických úvah. V dalším článku budeme pokračovat v diskusi o normální distribuci.